A integração por partes é uma técnica utilizada para simplificar a integração de produtos de funções. É baseada em uma fórmula que relaciona a integral de um produto de funções com a integração de uma dessas funções e o produto integral da outra função. A fórmula da integração por partes é dada por: ∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx Onde u(x) e v(x) são funções diferentes e deriváveis ​​em uma determinada região de integração. Esta técnica é útil quando a integração direta não é possível devido à complexidade das funções envolvidas. A integração por partes também pode ser aplicada a integrais definidas. Um exemplo simples de aplicação da integração por partes é a integração de uma função trigonométrica vezes uma exponencial. Suponha que queiramos integrar a seguinte função: ∫ e^x * sin(x) dx Aplicando a fórmula da integração por partes, obtemos: u(x) = sin(x) du/dx = cos(x) v'(x) = e^x v(x) = e^x Então, temos: ∫ e^x * sin(x) dx = e^x * sin(x) - ∫ e^x * cos(x) dx Aplicando a fórmula da integração por partes novamente para o termo remanescente, obtemos: u(x) = cos(x) du/dx = -sin(x) v'(x) = e^x v(x) = e^x Então, temos: ∫ e^x * cos(x) dx = e^x * cos(x) + ∫ e^x * sin(x) dx Substituindo na equação anterior, obtemos: ∫ e^x * sin(x) dx = e^x * sin(x) - e^x * cos(x) - ∫ e^x * sin(x) dx Isolando o termo integral, temos: 2∫ e^x * sin(x) dx = e^x * sin(x) - e^x * cos(x) E finalmente: ∫ e^x * sin(x) dx = (1/2) * e^x * (sin(x) - cos(x)) Portanto, a integração por partes é uma técnica valiosa para simplificar integrais complicadas e é amplamente utilizada em muitas áreas de matemática e física.